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怎样求切线方程？6 种核心技巧全解析

求切线方程是微积分和几何学中的核心难题，需根据曲线类型、已知条件选择合适技巧。下面内容是综合各领域技巧的划重点，涵盖代数、几何及实际应用场景：

一、基本导数法（适用于显函数）

• 切点在曲线上

  • 步骤：
    ① 求函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)，得到切点 \( (x_0, f(x_0)) \) 处的斜率 \( k = f'(x_0) \)；
    ② 使用点斜式方程 \( y – f(x_0) = f'(x_0)(x – x_0) \) 直接写出切线方程。
  • 示例：求 \( y = x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线：
    \( f'(x) = 2x \rightarrow k = 4 \)，切点 \( (2, 4) \)，方程为 \( y = 4x – 4 \)。

• 切点未知或点在曲线外

  • 步骤：
    ① 设切点为 \( (x_0, f(x_0)) \)；
    ② 用导数求斜率 \( k = f'(x_0) \)；
    ③ 联立切点方程 \( y_0 = f(x_0) \) 和已知点坐标，解出 \( x_0 \) 和 \( y_0 \)。
  • 示例：过点 \( (1, 0) \) 作 \( y = \frac1}x} \) 的切线：
    设切点 \( (x_0, \frac1}x_0}) \)，斜率 \( k = -\frac1}x_0} \)，联立方程得 \( x_0 = 1 \)，切线为 \( y = -x + 1 \)。

二、公切线难题（两条曲线共用切线）

• 两条显函数曲线

  • 步骤：
    ① 分别设两条曲线的切点为 \( (x_1, f(x_1)) \) 和 \( (x_2, g(x_2)) \)；
    ② 求导数 \( f'(x_1) \) 和 \( g'(x_2) \)，令两斜率相等；
    ③ 联立方程 \( f(x_1) – f'(x_1)x_1 = g(x_2) – g'(x_2)x_2 \) 求解。
  • 示例：求 \( y = x \) 和 \( y = ax + 15x + 9 \) 的公切线：
    设切点 \( (x_1, x_1) \) 和 \( (x_2, ax_2 + 15x_2 + 9) \)，通过联立方程确定 \( a = 7 \) 或 \( a = \frac7}4} \)。

• 隐函数曲线（如圆、椭圆）

  • 公式法：
    • 圆 \( (x – a) + (y – b) = r \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 处的切线方程为 \( (x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = r \)。
    • 椭圆 \( \fracx}a} + \fracy}b} = 1 \) 的切线方程为 \( \fracxx_0}a} + \fracyy_0}b} = 1 \)。

三、几何作图法（尺规作图求切线）

• 圆的切线（过圆外一点）
  • 直径法：
    ① 连接圆心 \( O \) 和圆外点 \( P \)，以 \( OP \) 为直径作圆，与原圆交于两点 \( A, B \)；
    ② 直线 \( PA \) 和 \( PB \) 即为所求切线。
  • 等腰三角形法：
    ① 延长 \( OP \) 交圆于 \( C, D \)；
    ② 以 \( P \) 为圆心、\( OP \) 为半径作弧，与以 \( CD \) 为半径的弧交于 \( E \)；
    ③ 连接 \( OE \) 交圆于切点 \( A \)，\( PA \) 即为切线。

四、独特曲线切线公式

• 抛物线 \( y = 4ax \)
  • 切线方程：\( ty = x + at \)（参数 \( t \) 对应切点坐标 \( (at, 2at) \))。
• 双曲线 \( \fracx}a} – \fracy}b} = 1 \)
  • 切线方程：\( \fracxx_0}a} – \fracyy_0}b} = 1 \)。

五、注意事项

• 切线条数判断：
  • 当方程解的数量不同时，切线可能为 1 条（唯一解）、2 条（两解）或不存在（无解），例如过圆外点的切线恒有 2 条。
• 不可导点处理：
  • 若函数在 \( x_0 \) 处不可导（如尖点），需用极限或几何技巧判断切线是否存在。

求切线需灵活结合导数、联立方程及几何特性。显函数优先用导数法，隐函数或独特曲线使用公式法，几何作图则适合直观操作。实际应用中需注意切点位置、曲线平滑性及多解情况。