一、基本不等式（AM-GM不等式）
. 二元形式
于任意正实数 ( a, b )，有：
raca + b}2} geq sqrtab}
且仅当 ( a = b ) 时取等号。
. 多元形式
于任意 ( n ) 个正实数 ( a_1, a_2, dots, a_n )，有：
raca_1 + a_2 + dots + a_n}n} geq sqrt[n]a_1 a_2 cdots a_n}
且仅当所有数相等时取等号。
二、均值不等式链（调几算方）
于正实数 ( a, b )，下面内容不等式链成立：
rac2}frac1}a} + frac1}b}} leq sqrtab} leq fraca + b}2} leq sqrtfraca^2 + b^2}2}}
应调安宁均（HM）≤ 几何平均（GM）≤ 算术平均（AM）≤ 平方平均（QM）。
strong>拓展到 ( n ) 个正数：
xt调安宁均} leq
xt几何平均} leq
xt算术平均} leq
xt平方平均}
三、其他形式与推广
. 加权形式
正实数 ( a, b ) 和正权值 ( w_1, w_2 )：
racw_1 a + w_2 b}w_1 + w_2} geq a^fracw_1}w_1 + w_2}} cdot b^fracw_2}w_1 + w_2}}
( w_1 = w_2 = 1 ) 时退化为基本不等式。
. 幂均值不等式
正实数 ( a_i ) 和实数 ( p > q )，满足：
eft( fraca_1^p + a_2^p + dots + a_n^p}n} right)^frac1}p}} geq left( fraca_1^q + a_2^q + dots + a_n^q}n} right)^frac1}q}}
( p = 1, q = 0 ) 时为算术平均 ≥ 几何平均。
. 对数平均不等式（二元独特情形）
于正实数 ( a
q b )，有：
qrtab} leq fraca
明对数平均介于几何平均与算术平均之间。
. 分式形式
正实数 ( a, b )：
raca}b} + fracb}a} geq 2
且仅当 ( a = b ) 时取等号。
. 推广到矩阵不等式
于正定矩阵 ( A, B )，有类似均值不等式的推广形式，例如：
qrtdet(A circ B)} leq fracdet(A) + det(B)}2}
中 ( circ ) 表示矩阵的几何平均。
四、独特情况下的变形
. 倒数不等式
正实数 ( a )，有：
+ frac1}a} geq 2 quad (a > 0), quad a + frac1}a} leq -2 quad (a < 0)
. 积分形式
区间 ([a, b]) 上的正连续函数 ( f(x) )，有：
rac1}b
积分平均值 ≥ 几何平均。
五、经典应用公式
. 柯西-施瓦茨不等式
实数序列 ( a_i, b_i )，有：
eft( sum_i=1}^n a_i b_i right)^2 leq left( sum_i=1}^n a_i^2 right) left( sum_i=1}^n b_i^2 right)
且仅当 ( a_i / b_i ) 为常数时取等号。
. 完全值不等式
任意实数 ( a, b )：
a|
用广泛于极值难题和误差分析。
上公式涵盖了基本不等式的核心内容及扩展形式，应用时可结合具体难题选择变形或加权处理。更多完整推导和应用案例可参考相关数学教材或文献。
